Question

【题目】如图，在中，，是角平分线，交于，的外接圆与边相交于点，过作的垂线交于，交于，交于，连接．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求的半径；

（3）在（2）的条件下，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）6；（3）

【解析】

（1）连结OD，根据AD是角平分线，求出∠C=90°，得到OD⊥BC，求出BC是⊙O的切线；
（2）构造直角三角形，根据勾股定理求出k的值即可；
（3）设FG与AE的交点为M，连结AG，利用三角函数和相似三角形结合勾股定理解题．

（1）证明：连结，

∵，

∴是的直径，即在上，

∵是角平分线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴．

∴是的切线；

（2）解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

设，则，

在中，由勾股定理得，

解得，，（舍），（注：也可由得），

∴，即的半径为6；

（3）解：连结，则，．

∴，

即，，

∴，

∴

∴，

∵，

∴，，

即，．

∴，，

∵，，

∴．

∴，

∴．

∴．