Question

20．有一面积为5$\sqrt{3}$的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为20$\sqrt{3}$和20．

Answer 1

分析 分两种情形讨论①当30度角是等腰三角形的顶角，②当30度角是底角，分别作腰上的高即可．

解答 解：如图1中，当∠A=30°，AB=AC时，设AB=AC=a，
作BD⊥AC于D，∵∠A=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a，
∴$\frac{1}{2}$•a•$\frac{1}{2}$a=5$\sqrt{3}$，
∴a²=20$\sqrt{3}$，
∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20$\sqrt{3}$．
如图2中，当∠ABC=30°，AB=AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB=AC=a，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=30°，
∴∠BAC=120°，∠BAD=60°，
在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，
∴BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴$\frac{1}{2}$•a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=5$\sqrt{3}$，
∴a²=20，
∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．
故答案为20$\sqrt{3}$或20．

点评 本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．