Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PC，AF，且满足∠PCA=∠ABC．

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）证明：；

（3）若BC=8，tan∠AFP=，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=．

【解析】

（1）先判断出PA=PC，得出∠PAC=∠PCA，再判断出∠ACB=90°，得出∠CAB+∠CBA=90°，再判断出∠PCA+∠CAB=90°，得出∠CAB+∠PAC=90°，即可得出结论；
（2）先判断出Rt△AOD∽Rt△POA，得出OA2=OPOD，进而得出

，，即可得出结论；
（3）在Rt△ADF中，设AD=a，得出DF=3a．，AO=OF=3a-4，最后用勾股定理得出OD2+AD2=AO2，即可得出结论．

（1）证明∵D是弦AC中点，∴OD⊥AC，∴PD是AC的中垂线，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA．

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°．

又∵∠PCA=∠ABC，∴∠PCA+∠CAB=90°，∴∠CAB+∠PAC=90°，即AB⊥PA，∴PA是⊙O的切线；

（2）证明：由（1）知∠ODA=∠OAP=90°，

∴Rt△AOD∽Rt△POA，∴，∴．

又，∴，即．

（3）解：在Rt△ADF中，设AD=a，则DF=3a．，AO=OF=3a-4．

∵，即，解得，∴DE=OE-OD=3a-8=．