Question

在本学期期末复习中，我们已遇到了这样的问题：已知

ab

a+b

=

1

2

，

bc

b+c

=

1

3

，

ca

a+c

=

1

4

，求

abc

ab+bc+ca

的值．根据条件中式子的特点，我们可能会想起

1

a

+

1

b

=

a+b

ab

，于是将每一个分式的分子、分母颠倒位置，问题被转化为“已知

1

a

+

1

b

=2，

1

b

+

1

c

=3，

1

a

+

1

c

=4，求

1

a

+

1

b

+

1

c

的值”，这样解答就方便了．
（1）通过阅读，上文中原问题

abc

ab+bc+ca

=

 

；
（2）类比文中的处理方法与思路，求解下列问题：已知：

m

m2+1

=

1

5

，求

8m2

m4+m2+1

的值．

Answer 1

考点：分式的化简求值

专题：阅读型

分析：（1）原式分子分母除以abc变形后，将已知等式代入计算即可求出值；
（2）已知等式变形求出m+

1

m

的值，原式变形后代入计算即可求出值．

解答：解：（1）∵

1

a

+

1

b

=2，

1

b

+

1

c

=3，

1

a

+

1

c

=4，
∴原式=

1

1 a + 1 b + 1 c

=

1

9

；
故答案为：

1

9

；
（2）已知等式变形得：

1

m+ 1 m

=

1

5

，得到m+

1

m

=5，
则原式=

8

m2+ 1 m2 +1

=

8

(m+ 1 m )2-1

=

8

25-1

=

1

3

．

点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．