Question

18．（1）计算：（$\frac{1}{2}$）^-1+|1-$\sqrt{3}$|-（π-3）⁰-$\root{3}{8}$；
（2）化简：$\frac{a-1}{a+2}$•$\frac{{a}^{2}-4}{{a}^{2}-2a+1}$÷$\frac{1}{1-{a}^{2}}$；
（3）解不等式组：$\left\{\begin{array}{l}{5x+2≥3x-6}\\{\frac{x-2}{6}＞\frac{x}{2}-1}\end{array}\right.$，并写出它的非负整数解．
（4）关于x的一元二次方程x²-（2m-1）x+m²+1=0．设x₁，x₂分别是方程的两个根，且满足x₁²+x₂²=x₁x₂+10，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）将（$\frac{1}{2}$）^-1=2、（π-3）⁰=1、$\root{3}{8}$=$\sqrt{2}$代入原式，再根据实数的运算即可得出结论；
（2）根据完全平方差、完全平凡公式结合分式的运算，即可得出结论；
（3）根据不等式组的解法及步骤，解不等式组即可得出x的取值范围，取其内的非负整数即可；
（4）根据方程有两个实数根结合根的判别式即可得出△=-4m-3≥0，解之即可得出m的取值范围，再根据根与系数的关系结合x₁²+x₂²=x₁x₂+10即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．

解答 解：（1）（$\frac{1}{2}$）^-1+|1-$\sqrt{3}$|-（π-3）⁰-$\root{3}{8}$，
=2+$\sqrt{3}$-1-1-$\sqrt{2}$，
=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$．
（2）原式=$\frac{a-1}{a+2}$•$\frac{（a+2）（a-2）}{（a-1）^{2}}$÷$\frac{1}{（1+a）（1-a）}$，
=$\frac{a-1}{a+2}$•$\frac{（a+2）（a-2）}{（a-1）^{2}}$•（1+a）（1-a），
=-（a-2）（1+a），
=-a²+a+2．
（3）$\left\{\begin{array}{l}{5x+2≥3x-6①}\\{\frac{x-2}{6}＞\frac{x}{2}-1②}\end{array}\right.$，
解不等式①，得：x≥-4；
解不等式②，得：x＜2．
∴不等式组的解为-4≤x＜2．
∴x=0和1．
（4）∵方程x²-（2m-1）x+m²+1=0有两个实数根，
∴△=[-（2m-1）]²-4（m²+1）=-4m-3≥0，
∴m≤-$\frac{3}{4}$．
∵x₁，x₂是方程x²-（2m-1）x+m²+1=0的两个根，
∴x₁+x₂=2m-1，x₁•x₂=m²+1，
∴x₁²+x₂²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁x₂=x₁x₂+10，即（2m-1）²-2（m²+1）=m²+1+10，
解得：m=-2或m=6（舍去）．
∴实数m的值为-2．

点评 本题考查了根与系数的关系、根的判别式、实数的运算、零指数幂、负整数指数幂、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）熟练掌握实数的运算顺序；（2）利用消元法将原式进行化简；（3）熟练掌握解一元一次不等式的方法及步骤；（4）根据根与系数的关系以及根的判别式找出关于m的一元一次不等式以及一元二次方程．