Question

2．如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．
（1）建立如图所示的坐标系，求抛物线的解析式；
（2）一艘装满物资的小船，露出水面部分的高为0.8m、宽为4m（横断面如图所示）．若暴雨后，水位达到警戒线CD，此时这艘船能从这座拱桥下通过吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先设抛物线的解析式y=ax²，再找出几个点的坐标，代入解析式后可求解．
（2）求出拱桥顶O到CD的距离为1m，x=2时，y=-0.16，由此即可判定．

解答 解：（1）设所求抛物线的解析式为：y=ax²（a≠0），
由CD=10m，可设D（5，b），
由AB=20m，水位上升3m就达到警戒线CD，
则B（10，b-3），
把D、B的坐标分别代入y=ax²得：
$\left\{\begin{array}{l}{25a=b}\\{100a=b-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{25}}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
∴y=-$\frac{1}{25}$x²；

（2））∵b=-1，
∴拱桥顶O到CD的距离为1m，
∵x=2时，y=-$\frac{4}{25}$=-0.16，
1-0.8=0.2＞0.16，
∴水位达到警戒线CD，此时这艘船能从这座拱桥下通过．

点评 本题考查二次函数的应用，解题的关键是把一个实际问题通过数学建模，转化为二次函数问题，用二次函数的性质加以解决．