Question

13．观察下列等式$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，将以上三个等式两边分别相加得：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
（1）猜想并写出：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
（2）直接写出下列各式的计算结果：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n×（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$
（3）探究并计算：$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+$\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2014×2016}$．

Answer 1

分析 （1）根据题中给出的例子即可找出规律；
（2）根据（2）中的规律即可得出结论；
（3）根据规律进行探究即可．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
故答案为：$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；

（2）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
故答案为：$\frac{n}{n+1}$；

（3）原式=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{8}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2016}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2016}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2016}$）
=$\frac{1007}{4032}$．

点评 本题考查的是数字的变化类，根据题意找出规律是解答此题的关键．