Question

2．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5，在△DEF中，∠EDF=90°，∠DEF=45°，DE=3．现将△DEF的直角边DF与△ABC的斜边AB重合在一起，并将△DEF沿AB方向移动，在移动过程中，D、F两点始终在AB边上（移动开始时点D与点A重合，一直移动到点F与点B重合为止），连接BE，设AD=x，BE=y．下列结论：①当x=2时，y=$\sqrt{73}$；②当x=10-4$\sqrt{3}$时，BE∥AC；③当x=7-3$\sqrt{2}$时，∠EBD=22.5°，其中正确有（　　）

• A． 3个
• B． 2个
• C． 1个
• D． 0个

Answer 1

分析 由在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5，可求得AB的长，然后由当x=2时，求得BD的长，利用勾股定理即可求得BE的长；由当x=10-4$\sqrt{3}$时，可求得BD的长，利用三角函数的知识即可求得∠EBD＜30°，即可知BE与AC不平行；由当x=7-3$\sqrt{2}$时，易求得EF=BF，继而求得∠EBD=22.5°．

解答 解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5，
∴AB=2BC=10，
①∵AD=x=2，
∴BD=AB-AD=8，
∴y=BE=$\sqrt{D{E}^{2}+D{B}^{2}}$=$\sqrt{73}$；故正确；
②当x=10-4$\sqrt{3}$时，BD=4$\sqrt{3}$，
∴tan∠EBD=$\frac{DE}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴∠EBD＜30°≠∠A，
∴BE与AC不平行；故错误；
③当x=7-3$\sqrt{2}$时，BD=3$\sqrt{2}$+3，
∴BF=BD-DF=3$\sqrt{2}$，
∵EF=$\sqrt{2}$DE=3$\sqrt{2}$，
∴EF=BF，
∴∠EBD=$\frac{1}{2}$∠EFD=22.5°；正确．
故选B．

点评 此题属于三角形的综合题．考查了勾股定理、三角函数、等腰三角形的判定与性质以及平行线的判定等知识．注意根据题意求得BD的长是关键．