Question

12．如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF．
（1）AE与BF相等吗？为什么？
（2）AE与BF是否垂直？说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，由SAS证明△ABE≌△BCF，得出对应边相等即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠BAE=∠CBF，由角的互余关系证出∠BGE=90°，即可得出结论．

解答 解：（1）AE=BF；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，
在△ABE和△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}&{\;}\\{∠ABE=∠BCF}&{\;}\\{BE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF；
（2）AE⊥BF；理由如下：
由（1）得：△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠CBF+∠AEB=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．