题目内容
1．如图1，已知抛物线y=-x2-4x+5交x轴于点A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接AD．（1）求直线AD的解析式．
（2）点E（m，0）、F（m+1，0）为x轴上两点，其中（-5＜m＜-3.5）EE′、FF′分别平行于y轴，交抛物线于点E′和F′，交AD于点M、N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使得|RE′-RF′|值最大，请求出点R的坐标及|RE′-RF′|的最大值．
（3）如图2，在抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为底边的等腰三角形，若存在，请出点P的坐标及△PAC的面积，若不存在，请说明理由．
分析 （1）根据抛物线的解析式求得点A、D的坐标，然后利用待定系数法来求直线AD的解析式即可；
（2）根据平行线的性质和函数图象上点的坐标特征易得ME′+NF′=-m2-7m-10-m2-9m-18=2m2-16m-28；结合二次函数最值的求法和两点间线段最短得到：要使|RE′-RF′|值最大，则点E′、F′、R三点在一条直线上，只需求得点E′、F′的坐标，利用待定系数法推知直线E′F′关系式，由该关系式来求点R的坐标即可；
（3）当PA=PC时，点P在线段AC的垂直平分线上，结合三角形的面积公式进行解答．
解答 
解：（1）如图1，∵y=-x2-4x+5=-（x+5）（x-1）或y=-（x+2）2+9，
∴A（-5，0），B（1，0），D（-2，9）．
设直线AD的解析式为：y=kx+b（k≠0），把A、D的坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-5k+b=0}\\{-2k+b=9}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=15}\end{array}\right.$．
故直线AD的解析式为：y=3x+15；
（2）如图1，∵EE′∥y轴，FF′∥y轴，E（m，0）、F（m+1，0），
∴E（m，-m2-4m+5）、F（m+1，-（m+1）2-4（m+1）+5），M（m，3m+15），N（m+1，3（m+1）+15），
∴ME′=-m2-4m+5-（3m+15）=-m2-7m-10，NF′=-m2-9m-18，
∴ME′+NF′=-m2-7m-10-m2-9m-18=2m2-16m-28．
∵-2＜0，
∴m=-$\frac{-16}{2×（-2）}$=-4，
∴ME′+NF′有最大值，此时E′（-4，5），F′（-3，8），
要使|RE′-RF′|值最大，则点E′、F′、R三点在一条直线上，
∴设直线E′F′：y=kx+b（k≠0），则
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=8}\\{-4k+b=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=17}\end{array}\right.$，
∴直线E′F′：y=3x+17（k≠0）．
当x=0时，y=17，则点R的坐标是（0，17）．
此时，|RE′-RF′|的最大值为$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$；
（3）如图2，设点P（x，-x2-4x+5）．
当PA=PC时，点P在线段AC的垂直平分线上，
∵OC=OA，
∴点O在线段AC的垂直平分线上，
∴点P在∠AOC的角平分线上，
∴-x=-x2-4x+5，
解得x1=$\frac{-3+\sqrt{29}}{2}$，x2=$\frac{-3-\sqrt{29}}{2}$，
∴P（$\frac{-3-\sqrt{29}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{29}}{2}$），P′（$\frac{-3+\sqrt{29}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{29}}{2}$）．
∴PH=OP-OH=$\frac{\sqrt{58}-2\sqrt{2}}{2}$，P′H=OP′+OH=$\frac{\sqrt{58}+2\sqrt{2}}{2}$，
∴S△PAC=$\frac{1}{2}$AC•PH=$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{58}-2\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{29}-10}{2}$或S△PAC=$\frac{1}{2}$AC•P′H=$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{58}+2\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{29}+10}{2}$．
点评 本题考查了二次函数综合题．其中涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法以及三角形的面积计算．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
| A． | 函数值随自变量的增大而减少 | |
| B． | 动点（3-a，a）一直在直线y=-x+3上 | |
| C． | 直线y=-x+3与坐标轴围成的三角形周长是$3+3\sqrt{2}$ | |
| D． | 直线y=-x+3不经过第三象限 |
（1）求作：△ABC，使AB=AC=a，∠B=∠α（保留作图痕迹，不写作法）；
在直角坐标系中，直线MN分别交x轴、y轴的正半轴于点N、M，正方形ABCD内接于Rt△MON，点A、B分别在线段MO、NO上，点C、D在线段MN上．若点D的坐标为（7，4），则点C坐标（3，7）．| A． | 36° | B． | 60° | C． | 72° | D． | 108° |