Question

如图所示，直线y=-

3

3

x+

3

与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC交x轴于D，交△ABO的外接圆⊙M于C，已知∠COD=∠OBC．
（1）求证：MC⊥OA；
（2）求直线BC的解析式．

Answer 1

分析：（1）由∠COD=∠OBC，可以得出

OC

=

AC

，再利用垂径定理就可以直接得出结论MC⊥OA；
（2）由直线的解析式可以求出OA、OB的值，由（1）的结论就可以求出OG、GM的值，连接OM求出⊙M的半径，从而求出GC的值而求出C点的坐标，最后利用待定系数法就可以求出直线BC的解析式．

解答：（1）证明：∵∠COD=∠OBC，
∴

OC

=

AC

，
∵点M是圆心，
∴由垂径定理的推论，得
MC⊥OA；

（2）解：∵MC⊥OA，
∴OG=GA=

1

2

OA，
∵点M是圆心，
∴BM=AM，
∴GM是△AOB的中位线，
∴GM=

1

2

OB，
∵y=-

3

3

x+

3

与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当x=0时，y=

3

，
当y=0时，x=3，
∴B（0，

3

），A（3，0）
∴OB=

3

，OA=3，
∴MG=

3

2

，OG=

3

2

，连接OM，在Rt△OGM中，由勾股定理，得
OM=

3

，
∴GC=

3

-

3

2

=

3

2

，
∵点C在第三象限，
∴C（

3

2

，-

3

2

）．
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∴

3 =b - 3 2 = 3 2 k+b

解得：

k=- 3 b= 3

，
直线BC的解析式为：y=-

3

x+

3

点评：本题是一道一次函数的综合试题，考查了一次函数的图象上点的坐标的特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形中位线的性质的运用，勾股定理的运用及圆的相关性质的运用．