Question

如图所示：直线MN⊥RS于点O，点B在射线OS上，OB=2，点C在射线ON上，OC=2，点E是射线OM上一动点，连接EB，过O作OP⊥EB于P，连接CP，过P作PF⊥PC交射线OS于F．

（1）求证：△POC∽△PBF．
（2）当OE=1，OE=2时，BF的长分别为多少？当OE=n时，BF=

4

n

．
（3）当OE=1时，S_△EBF=S₁；OE=2时，S_△EBF=S₂；…，OE=n时，S_△EBF=S_n．则S₁+S₂+…+S_n=

2n

．（直接写出答案）

Answer 1

分析：（1）根据∠OPB=∠CPF，得出∠OPC=∠BPF，再根据∠EOP=∠EOB=90，得出∠EOP=∠OBP，∠POC=∠PBF，即可证出△POC∽△PBF；                
（2）根据△POC∽△PBF，得出

OC

BF

=

PO

PB

，再根据△OPB∽△EOB，得出OE•BF=OC•OB=4，即可求出BF的长；
（3）根据已知条件当OE=1时，S_△EBF=S₁；OE=2时，S_△EBF=S₂；…，OE=n时，S_△EBF=S_n即可求出S₁+S₂+…+S_n=2n；

解答：解：（1）证明：∵∠OPB=∠CPF
∴∠OPC=∠BPF，
∵∠EOP=∠EOB=90，
∴∠EOP=∠OBP
∴∠POC=∠PBF
∴△POC∽△PBF；                 

（2）根据△POC∽△PBF
∴

OC

BF

=

PO

PB

，
∵△OPB∽△EOB
∴

PO

PB

=

OE

OB

，
∴

OC

BF

=

OE

OB

，
∴OE•BF=OC•OB=4                      
∴当OE=1时，BF=4；
当OE=2时，BF=2，
当OE=n时，BF=

4

n

；

（3）根据题意得；
S₁+S₂+…+S_n=2n；
故答案为：2n．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质；解题的关键是根据相似三角形的判定与性质进行解答，此题是一个综合题，难度适中．