Question

将一张矩形纸板沿对角线剪开得到两个三角形，△ABC与△DEF，∠B=∠E=90°，如图①所示．
（1）将△ABC与△DEF按如图②方式摆放，使点B与E重合，点C、B、E、F在同一条直线上，边AB与DE重合，连接CD、FA，并延长FA交CD于G．试证：FA⊥CD
（2）在（1）所述基础上，将纸板△ACB沿直线CF向右平移，并剪去ED右侧部分，此时CA与ED的交点为A₁，连接CD、FA₁，并延长FA₁交CD于G，如图③所示，直线FA₁和CD的位置关系是

 

（直接写出）
（3）在（2）所述基础上，将纸板△A₁CE绕点E逆时针旋转α度（0°＜α＜90°）至如图④所示位置，连接CD、FA₁，CD与FA₁交于点G，试判断FA₁与CD的位置关系？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）如图②，由旋转的性质、等腰直角三角形的性质求得∠3=45°，∠1=45°．因为∠2=∠4，∠3+∠5+∠4=∠1+∠3+∠4=90°，所以FG⊥CD，则FA⊥CD；
（2）FA₁⊥CD．通过解Rt△CA₁E、△CDE、△A₁EF证得∠1=∠3，同（1）证得它们垂直．
（3）证△A₁CE∽△FDE，则∠EFG=∠GDE，故∠DGF=90°，即FA₁⊥CD．

解答：（1）证明：

如图②，∵AB=BF，∠ABF=90°，
∴∠3=45°．
又∵BC=BD，∠DBC=90°，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠3．
∵∠2=∠4，
∴∠3+∠5+∠4=∠1+∠5+∠4=90°，
∴∠FGD=90°，即FG⊥CD，
∴FA⊥CD；

（2）FA₁⊥CD．理由如下：
如图③，tan∠2=

A1E

CE

，tan∠5=

EF

DE

．
∵∠2=∠5，
∴

A1E

CE

=

EF

DE

，
∴

A1E

EF

=

CE

DE

，
tan∠1=tan∠3，
∴∠1=∠3，
∴∠3+∠4+∠5=∠1+∠4+∠5=90°，
∴∠FGD=90°，即FG⊥CD，
∴FA⊥CD；

（3）∵∠A₁CE=∠FDE，∠A₁EC=∠FED，
∴△A₁CE∽△FDE，
∴∠EFG=∠GDE，
∴∠DGF=90°，即FA₁⊥CD．

点评：本题综合考查了旋转、平移的性质，等腰直角三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质等知识点．主要培养学生的推理能力，本题具有一定的代表性，证明过程类似，透过做此题培养了学生的发散思维能力．