Question

有一根直尺短边长2厘米，长边长10厘米，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长为12厘米．如图甲，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合．将直尺沿射线AB方向平移，如图乙，设平移的长度为xcm，且满足0≤x≤10，直尺和三角形纸板重叠部分的面积（即图中阴影部分）为Scm²．

（1）当x=0cm时，S=

 

；当x=4cm时，S=

 

；当x=10cm时，S=

 

．
（2）当4＜x＜6时（如图丙），请用含x的代数式表示S．
（3）是否存在一个位置，使阴影部分面积为11cm²？若存在，请求出此时x的值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）当x=0cm时，直尺和三角形纸板重叠部分的面积是两直角边都为2厘米的三角形面积；当x=4cm时，直尺和三角形纸板重叠部分的面积=两直角边都为6厘米的三角形面积-两直角边都为4厘米的三角形面积；当x=10cm时，直尺和三角形纸板重叠部分的面积是两直角边都为2厘米的三角形面积；
（2）过点C做CM⊥AB于点M．当4＜x＜6时，根据S=梯形GDMC的面积+梯形CMEF的面积，列式计算即可求解；
（3）根据阴影部分面积为11cm²，列出方程-x²+10x-14=11，解方程即可求解．

解答：解：（1）当x=0cm时，S=2×2÷2=2cm²；
当x=4cm时，S=6×6÷2-4×4÷2=10cm²；
当x=10cm时，S=2×2÷2=2cm²．
故答案为：2cm²；10cm²；2cm²．

（2）如图所示：过点C做CM⊥AB于点M．
当4＜x＜6时，
梯形GDMC的面积=

1

2

（GD+CM）×DM
=

1

2

（x+6）（6-x）
=-

1

2

x²+18，
梯形CMEF的面积=

1

2

（EF+CM）×ME
=

1

2

[12-(x+2)+6][(x+2)-6]
=

1

2

（16-x）（x-4）
=-

1

2

x²+10x-32，
S=梯形GDMC的面积+梯形CMEF的面积=(-

1

2

x2+18)+(-

1

2

x2+10x-32)=-x²+10x-14；

（3）当x=4时，S=10cm²，
所以当S=11cm²时，x必然大于4，即-x²+10x-14=11，
解得x₁=x₂=5，
所以当x=5cm时，阴影部分面积为11cm²．

点评：考查了相似形综合题，涉及的知识点有：直角三角形的面积，矩形的性质，梯形的面积，分类思想的应用，方程思想的应用，综合性较强，难度中等．