Question

11．如图，直线y₁=-mx+5m与双曲线y₂=$\frac{k}{x}$（x＞0）相交于A、B（4，n）两点，与x轴相交于C点，△BOC的面积是$\frac{5}{2}$．
（1）求m、k的值；
（2）求A的坐标，并写出当x＞0时，y₁与y₂的大小．

Answer 1

分析 （1）先求出直线y₁=-mx+5m的交点C（5，0），根据△BOC的面积为$\frac{5}{2}$结合题意求得点B的坐标，分别代入一次函数和反比例函数解析式求得m、k的值；
（2）根据所求函数解析式列方程可求得点A坐标，由函数图象可得出y₁与y₂的大小．

解答 解：（1）把y=0代入y₁=-mx+5m，得：-mx+5m=0，
解得：x=5，即点C（5，0），
∴OC=5，
如图，过点B作BD⊥OC于点D，

∵△BOC的面积为$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$OC•BD=$\frac{1}{2}$×5•BD=$\frac{5}{2}$，
解得：BD=1，
∴点B坐标为（4，1），
将点B坐标代入y₁=-mx+5m得：-4m+5m=1，
解得：m=1，
将点B代入y₂=$\frac{k}{x}$，得：k=4；

（2）当y₁=y₂时，-x+5=$\frac{4}{x}$，
解得：x₁=4，x₂=1，
当x=1时，y₁=y₂=4，
∴点A的坐标为（1，4），
由图象可知当0＜x＜1或x＞4时，y₁＜y₂；当x=1或x=4时，y₁=y₂；当1＜x＜4时，y₁＞y₂．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积公式，根据三角形的面积公式找出点B的坐标是解题的关键．