Question

4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²-$\frac{3}{2}$x+c（a≠0）的图象与x轴交于A（-2，0）、C两点，与y轴交于点B（0，-4），其对称轴与x轴交于点D．
（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）若点P是第四象限内该二次函数图象上的一个动点，连接PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点A（-2，0）和点B（0，-4）坐标代入二次函数y=ax²-$\frac{3}{2}$x+c（a≠0）求出a、c的值，得到二次函数的解析式，解方程求出点C的坐标；
（2）设点P的坐标为（x，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4），根据梯形的面积公式和三角形的面积公式计算求出△BDP面积，根据二次函数的性质解答．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²-$\frac{3}{2}$x+c的图象与x轴交于A（-2，0），与y轴交于点B（0，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+3+c=0}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
解得，a=$\frac{1}{4}$，c=-4，
则二次函数的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4，
$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=0，
x₁=-2，x₂=8，
∴点C的坐标为（8，0）；
（2）设点P的坐标为（x，$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4），
y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x-4=$\frac{1}{4}$（x-3）²-$\frac{25}{4}$，
△BDP面积=$\frac{1}{2}$×（4-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4）×x-$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×（x-3）×（-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4）=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{17}{2}$x=-$\frac{3}{4}$（x-$\frac{17}{3}$）²+$\frac{289}{12}$，
∴当x=$\frac{17}{3}$时，△BDP面积的最大，此时点P的坐标为（$\frac{17}{3}$，$\frac{161}{36}$）．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点、二次函数的最值以及待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．