Question

如图，已知：AD∥BC，AB⊥BC，AB=3cm，AD=2cm．点P是线段AB上的一个动点，连接PD，过点D作CD⊥PD，交射线BC于点C，再过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）填空：当AP=2cm时，PD=

2

2

cm；
（2）求

PD

CD

的值；
（3）当△APD与△DPC相似时，求线段BC的长．

Answer 1

分析：（1）因为AB⊥BC，所以∠A=90°，所以三角形ADP是直角三角形，根据勾股定理即可求出PD的长；
（2）由已知易得四边形ABCE是矩形，所以CE=AB=3，AE=BC，再证明△APD∽△EDC，由相似三角形的性质即可求出

PD

CD

的值；
（3）根据题意，当△APD与△DPC相似时，有下列两种情况：①当点P与点B不重合，且△APD∽△DPC时．②如图2，当点P与点B重合，且△APD∽△DCP时，分别讨论求出符合题意的BC的长即可．

解答：解：（1）∵AB⊥BC，
∴∠A=90°，
∴三角形ADP是直角三角形，
∵AD=2cm，AP=2cm
∴PD=

AD2+AP2

=2

2

cm；

（2）如图1，由已知易得四边形ABCE是矩形．
∴CE=AB=3，AE=BC，
∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
又∵∠A=∠E=90°，
∴△APD∽△EDC，
∴

PD

CD

=

AD

EC

=

2

3

；

（3）根据题意，当△APD与△DPC相似时，有下列两种情况：
①当点P与点B不重合，且△APD∽△DPC时．
由△APD∽△EDC，得

AP

DE

=

PD

DC

，即

AP

PD

=

DE

CD

，
由△APD∽△DPC，得

AP

PD

=

AD

DC

，
∴

AD

CD

=

DE

CD

，即DE=AD=2，
∴AE=4，
∴BC=AE=4；
②如图2，当点P与点B重合，且△APD∽△DCP时，
在Rt△ABD中，由AD=2，AB=3，得BD=

13

．
由△ABD∽△DCB，得

AD

BD

=

BD

BC

，
即

2

13

=

13

BC

，
解得BC=

13

2

．…（13分）
∴当△APD与△DPC相似时，BC为4或

13

2

．

解法二：设DE=xcm，
∴BC=AE=（2+x）cm，且EC=AB=3cm，
∵△APD∽△EDC，
∴

AD

EC

=

AP

DE

，
即：

2

3

=

AP

x

，
∴AP=

2

3

x．
根据题意，当△APD与△DPC相似时，有下列两种情况：
①当△APD∽△DPC时，
∴

AP

PD

=

AD

DC

，
∴

AP

AD

=

PD

DC

，
由（2）有：

2 3 x

2

=

2

3

，
解得：x=2，
∴BC=AE=2+2=4．
②当△APD∽△DCP时，
∴

AP

DC

=

AD

PD

，
∴

AP

AD

=

DC

PD

，
由（2）有：

2 3 x

2

=

3

2

，
解得：x=

9

2

，
∴BC=AE=2+

9

2

=

13

2

．
综上所述，当△APD与△DPC相似时，BC为4或

13

2

．

解法三：设DE=xcm，∴BC=AE=（2+x）cm，且EC=AB=3cm，
∵△APD∽△EDC，
∴

AD

EC

=

AP

DE

，
即：

2

3

=

AP

x

，∴AP=

2

3

x，
根据题意，当△APD与△DPC相似时，有下列两种情况：
①当△APD∽△DPC时，
∴∠ADP=∠DCP，
∴tan∠ADP=tan∠DCP，
∴

AP

AD

=

PD

DC

，
结合（2）有：

2 3 x

2

=

2

3

，
解得：x=2，
∴BC=AE=2+2=4．
②当△APD∽△DCP时，
∴∠ADP=∠DPC，
∴tan∠ADP=tan∠DPC，
∴

AP

AD

=

DC

PD

，
结合（2）有：

2 3 x

2

=

3

2

解得：x=

9

2

，
∴BC=AE=2+

9

2

=

13

2

，
综上所述，当△APD与△DPC相似时，BC为4或

13

2

．
故答案为2

2

．

点评：本题考查了直角三角形的判定和性质：特别是勾股定理的运用、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及分类讨论的数学思想，特别是第（3）小题解题的方法很多，很好的训练了学生的发散思维．