Question

5．（1）$\frac{1}{2}$+（${\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}}$）+（${\frac{1}{4}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{3}{4}}$）+…+（${\frac{1}{60}$+$\frac{2}{60}$+…+$\frac{59}{60}}$）=885；
（2）1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+…+$\frac{1}{1+2+3+…+100}$=$\frac{200}{101}$．

Answer 1

分析 （1）根据每个括号内的算式和的变化可找出变化规律“$\frac{1}{n}$+$\frac{2}{n}$+…+$\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{2}$（n-1）”，依此规律即可得出结论；
（2）根据每个分式的变化可找出变化规律“$\frac{1}{1+2+3+…+n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2×（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）”，依此规律即可得出结论．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$=2×$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{3}{4}$=3×$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{5}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{3}{5}$+$\frac{4}{5}$=4×$\frac{1}{2}$，…，
∴$\frac{1}{n}$+$\frac{2}{n}$+…+$\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{2}$（n-1），
∴$\frac{1}{2}$+（${\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}}$）+（${\frac{1}{4}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{3}{4}}$）+…+（${\frac{1}{60}$+$\frac{2}{60}$+…+$\frac{59}{60}}$）=$\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{2}$+…+59×$\frac{1}{2}$=（1+2+3+…+59）×$\frac{1}{2}$=$\frac{（1+59）×59}{2}$×$\frac{1}{2}$=885．
故答案为：885．
（2）∵$\frac{1}{1+2}$=$\frac{2}{2×3}$=2×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$），$\frac{1}{1+2+3}$=$\frac{2}{3×4}$=2×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$），$\frac{1}{1+2+3+4}$=$\frac{2}{4×5}$=2×（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$），…，
∴$\frac{1}{1+2+3+…+n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2×（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+…+$\frac{1}{1+2+3+…+100}$=1+2×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{100}$-$\frac{1}{101}$）=1+2×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{101}$）=$\frac{200}{101}$．
故答案为：$\frac{200}{101}$．

点评 本题考查了规律型中数字的变化类，根据数和分式的变化找出变化规律是解题的关键．