Question

 已知△ABC中,∠BAC=90°, AB="AC." （1）（5分） 如图，D为AC上任一点，连接BD，过A点作BD的垂线交过C点与AB平行的直线CE于点E.求证：BD=AE.

（2）（6分） 若点D在AC的延长线上，如图，其他条件同（1），请画出此时的图形，并猜想BD与AE是否仍然相等？说明你的理由.

Answer 1

证明：（1）∵AB∥CE，
∴∠BAF=∠AEC，∠BAC+∠ACE=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACE=90°，
∵AF⊥BD，
∴∠ABD+∠BAF=90°，∠EAC+∠BAF=90°，
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD和△CAE中，
AB="AC" ∠BAC=∠ACE ∠AEC=∠ABD ∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE．
（2）BD与AE仍然相等，
证明：过点C作AB∥CE，过点A作AE⊥BD于点F，
∵AB∥CE，
∴∠BAF=∠AEC，∠BAC+∠ACE=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACE=90°，
，∵AF⊥BD，
∴∠ABD+∠BAF=90°，∠EAC+∠BAF=90°，
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD和△CAE中，
AB="AC" ∠BAC=∠ACE ∠AEC=∠ABD  
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE．

解析