Question

如图所示，已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，交AC于E，过D作DF⊥AC于F
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接DE，且AB=4，若∠FDC=30°，试求△CDE的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OD，由AB=AC，利用等边对等角得到一对角相等，再由OB=OD，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠ODB=∠C，利用同位角相等两直线平行，根据DF垂直于AC，得到DF垂直于OD，即可确定出DF为圆的切线；
（2）连接DE，AD，根据∠FDC与∠DFC的度数求出∠C的度数为60°，由AB=AC，得到三角形ABC为等边三角形，进而确定出三角形EDC为等边三角形，由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到AD垂直于BC，利用三线合一得到D为BC中点，求出CD的长，进而确定出EC与DF的长，求出三角形DEC的面积即可．

解答：（1）证明：连接OD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
则DF为圆O的切线；

（2）解：连接DE，AD，
∵∠FDC=30°，∠DFC=90°，
∴∠C=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∵∠CED为圆内接四边形ABDE的外角，
∴∠CED=∠B=60°，
∴△DEC为等边三角形，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∴D为BC的中点，即DC=

1

2

BC=

1

2

AB=2，
∴EC=DC=2，DF=

3

，
则S_△DEC=

1

2

×2×

3

=

3

．

点评：此题考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的性质，垂径定理，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．