Question

将一个正方体表面全部涂上颜色，把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，得到27个小正方体，我们把仅有i个面涂色的小正方体的个数记为x_i，例如：通过观察我们可以发现仅有3个面涂色的小正方体个数x₃=8，仅有2个面涂色的小正方体个数x₂=12，仅有1个面涂色的小正方体个数x₁=6，6个面均不涂色的小正方体个数x₀=1．
（1）如果把正方体的棱四等分，同样沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体，那么x₃=

 

，x₂=

 

，x₁=

 

，x₀=

 

；
（2）如果把正方体的棱n等分（n大于3），然后沿等分线把正方体切开，得到n³个小正方体，且满足2x₂-x₃=184，请求出n的值．

Answer 1

考点：规律型：图形的变化类,认识立体图形

专题：

分析：（1）根据图示可发现顶点处的小方块三面涂色，除顶点外位于棱上的小方块两面，涂色位于表面中心的一面涂色，而处于正中心的则没涂色．
（2）由特殊推广到一般即可得到n等分时所得小正方体表面涂色情况：三面涂色8，二面涂色12（n-2），一面涂色6（n-2）²，各面均不涂色（n-2）³，由此代入得出方程解答即可．

解答：解：（1）把正方体的棱四等分时，顶点处的小正方体三面涂色共8个；有一条边在棱上的正方体有24个，两面涂色；每个面的正中间的4个只有一面涂色，共有24个；正方体正中心处的8个小正方体各面都没有涂色．故x₃=8，x₂=24，x₁=24，x₀=8；
（2）2x₂-x₃=184，
即2×12（n-2）-8=184
解得n=10．

点评：此题考查了立体图形的认识和用特殊归纳一般规律的方法．关键是通过正方体的特点来得到有关涂色情况的规律．