Question

已知：关于x的方程

1

3

x²-kx-2=0，设方程的两个根为x₁，x₂，若y=

x1+x2

x1x2

（1）如果2（x₁+x₂）＞x₁x₂，求k的取值范围．
（2）当k＞2时，比较y与-k²+

1

2

k+2的大小，并说明理由．

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式

专题：计算题

分析：（1）先计算判别式的值得到根据题意得△=k²+

8

3

＞0，根据判别式的意义得到k为任意实数，方程有两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系得x₁+x₂=3k，x₁•x₂=-6，则根据题意得到2•3k＞-6，然后解不等式即可；
（2）先化简y得到y=-

1

2

k，再利用求差法比较大小：用y减去-k²+

1

2

k+2得到y-（-k²+

1

2

k+2）=-

1

2

k+k²-

1

2

k-2，配方得（k-

1

2

）²-

9

4

，然后根据k＞2比较大小．

解答：解：（1）根据题意得△=k²-4×

1

3

×（-2）=k²+

8

3

＞0，
所以k为任意实数，方程有两个不相等的实数根，
∵x₁+x₂=3k，x₁•x₂=-6，
∴2•3k＞-6，
∴k＞-1；
（2）y比-k²+

1

2

k+2要大．理由如下：

∵y=

3k

-6

=-

1

2

k，
∴y-（-k²+

1

2

k+2）=-

1

2

k+k²-

1

2

k-2
=k²-k-2
=（k-

1

2

）²-

9

4

，
∵k＞2，
∴（k-

1

2

）²-

9

4

＞0，
∴y比-k²+

1

2

k+2要大．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了根的判别式．