如图(1).在平面直角坐标系中.⊙O1与x轴相切于点A(3.0).与y轴相交于B.C两点.且BC=8.连接AB.O1B．(1)AB的长= ,(2)求证:∠ABO1=∠ABO,.过A.B两点作⊙O2与y轴的负半轴交于点M.与O1B的延长线交于点N.连接AM.MN.当⊙O2的大小变化时.∠ABO1与∠AMN始终相等.问BM-BN的值是否变化.为什么?如果不变.请求出BM-BN� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图（1），在平面直角坐标系中，⊙O₁与x轴相切于点A（3，0），与y轴相交于B、C两点，且BC=8，连接AB、O₁B．

（1）AB的长=

；
（2）求证：∠ABO₁=∠ABO；
（3）如图（2），过A、B两点作⊙O₂与y轴的负半轴交于点M，与O₁B的延长线交于点N，连接AM、MN，当⊙O₂的大小变化时，∠ABO₁与∠AMN始终相等，问BM-BN的值是否变化，为什么？如果不变，请求出BM-BN的值．

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）作O₁E⊥BC于点E，根据垂径定理得到E为BC的中点，由BC的长求出BE的长，再由A的横坐标得出OA的长，即为O₁E的长，在直角三角形O₁BE中，根据勾股定理求出O₁B的长，用OE-BE求出OB的长，在直角三角形AOB中，根据勾股定理即可求出AB的长；
（2）连接O₁A，由圆O₁与x轴切于A，根据切线的性质得到O₁A垂直于OA，由OB与AO垂直，根据平面内垂直于同一条直线的两直线平行，得到O₁A与OB平行，根据两直线平行内错角相等，得到一对内错角相等，再由O₁A=O₁B，根据等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出∠ABO₁=∠ABO；
（3）在MB上取一点G，使MG=BN，连接AN、AG、由∠ABO₁为四边形ABMN的外角，根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，可得出∠ABO₁=∠NMA，再由∠ABO₁=∠ABO，等量代换可得出∠ABO=∠NMA，然后利用同弧所对的圆周角相等可得出∠ABO=∠ANM，等量代换可得出∠NMA=∠ANM，根据等角对等边可得出AM=AN，再由同弧所对的圆周角相等，及OM=BN，利用SAS可得出三角形AMG与三角形ABN全等，根据全等三角形的对应边相等可得出AG=AB，由AO与BG垂直，根据三线合一得到O为BG的中点，根据OB的长求出BG的长，然后BM-BN=BM-MG=BG，由BG为常数得到BM-BN的长不变．

解答：解：

（1）作O₁E⊥BC于点E，
∴E为BC的中点，
∵BC=8，
∴BE=

BC=4，
∵A（-3，0），
∴O₁E=OA=3，
在直角三角形O₁BE中，
根据勾股定理得：O₁B=

BE2+O1B2

42+32

=5，
∴O₁A=EO=5，
∴BO=5-4=1，
在直角三角形AOB中，
根据勾股定理得：AB=

OA2+OB2

．
故答案为：

；

（2）证明：连接O₁A，则O₁A⊥OA，
又∵OB⊥OA，
∴O₁A∥OB，∠O₁AB=∠ABO，
又∵O₁A=O₁B，
∴∠O₁AB=∠O₁BA，
∴∠ABO₁=∠ABO；

（3）BM-BN的值不变．
理由为：在MB上取一点G，使MG=BN，连接AN、AG，
∵∠ABO₁为四边形ABMN的外角，
∴∠ABO₁=∠ABO，∠ABO₁=∠AMN，
∴∠ABO=∠AMN，
又∵∠ABO=∠ANM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
∵∠AMG、∠ANB都为AB弧所对的圆周角，
∴∠AMG=∠ANB
∵在△AMG和△ANB中，

AM=AN

∠AMG=∠ANB

MG=BN

，
∴△AMG≌△ANB（SAS），
∴AG=AB，
∵AO⊥BG，
∴BG=2BO=2，
∴BM-BN=BM-MG=BG=2其值不变．

点评：此题考查的是圆的综合题，涉及到切线的性质，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质．熟练掌握性质及定理是解本题的关键．