题目内容

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=3cm，∠ABC的平分线交于点D，动点P，Q从点C同时出发，点P以1cm/s的速度沿射线CA方向运动，点Q以2cm/s的速度沿射线CB方向运动，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s），连接PQ，PD，QD．
（1）请用含t的代数式表示线段PQ的长；
（2）求点D到AC的距离；
（3）设△PQD与△ABC的重叠部分图形的面积为S（cm2）．
①当0＜t＜3时，求S与t之间的函数关系式；
②直接写出在运动过程中S随t的增大而增大时t的取值．

分析 （1）由题意PC=t，QC=2t，在Rt△PQC中，根据PQ=$\sqrt{P{C}^{2}+C{Q}^{2}}$，即可解决问题．
（2）如图1中，作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F．首先证明四边形CFDE是正方形，设正方形的边长为x，由DE∥BC，可得$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AC}$，即$\frac{x}{3}$=$\frac{6-x}{6}$，解方程即可解决问题．
（3）①如图2中，作MH⊥AC于M，MG⊥BC于G，则四边形CGMH是正方形，设边长为y，分两种情形a、当0＜t≤1.5时，重叠部分是△PQD．b、当1.5＜t＜3时，重叠部分是△PKD，分别求解即可．
②分三种情形讨论即可．a、当0＜t≤1.5时，重叠部分是△PQD．b、当1.5＜t＜3时，重叠部分是△PKD，分别求解即可．c、当t≥3时，分别利用二次函数的性质即可解决问题．

解答 解：（1）由题意PC=t，QC=2t，
在Rt△PQC中，PQ=$\sqrt{P{C}^{2}+C{Q}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+（2t）^{2}}$=$\sqrt{5}$t．

（2）如图1中，作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F．

∵∠ACB=90°，DC平分∠ACB，
∴∠DCE=∠DCF=∠DCE=∠CDF=45°，
∴EC=ED，FC=FD，
∵DF⊥BC，DE⊥AC，
∴DE=DF，
∴DE=DF=CF=EC，
∴四边形CFDE是菱形，∠ECF=90°，
∴四边形CFDE是正方形，设正方形的边长为x，
∵DE∥BC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{x}{3}$=$\frac{6-x}{6}$，
∴x=2．
∴点D到AC的距离为2．

（3）①如图2中，作MH⊥AC于M，MG⊥BC于G，则四边形CGMH是正方形，设边长为y，

∵MH∥CQ，
∴$\frac{MH}{CQ}$=$\frac{PH}{PC}$，
∴$\frac{y}{2t}$=$\frac{t-y}{t}$，
∴y=$\frac{2}{3}$t，
当0＜t≤1.5时，重叠部分是△PQD，
∴S=（S△CQD-S△CQM）+（S△CPD-S△CPM）=$\frac{1}{2}$•2t（2-$\frac{2}{3}$t）+$\frac{1}{2}$•t•（2-$\frac{2}{3}$t）=$\frac{3}{2}$t（2-$\frac{2}{3}$t）=3t-t2．
如图3中，作PT∥AB交BC于T，QR⊥AB于R．

∵$\frac{PT}{AB}$=$\frac{PC}{AC}$=$\frac{CT}{BC}$，
∴$\frac{PT}{3\sqrt{5}}$=$\frac{t}{6}$=$\frac{CT}{3}$，
∴PT=$\frac{\sqrt{5}}{2}$t，CT=$\frac{1}{2}$t，
∵BK∥PT，
∴$\frac{BK}{PT}$=$\frac{QB}{QT}$，
∴$\frac{BK}{\frac{\sqrt{5}}{2}t}$=$\frac{2t-3}{2t-\frac{1}{2}t}$，
∴BK=$\frac{\sqrt{5}}{3}$（2t-3），
当点K与点D重合时，$\frac{\sqrt{5}}{3}$（2t-3）=$\sqrt{5}$，解得t=3，
∴KD=$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{3}$（2t-3）=2$\sqrt{5}$-$\frac{2}{3}$$\sqrt{5}$t，
由△QRB∽△DFB，可得$\frac{QR}{DF}$=$\frac{BQ}{DB}$，
∴$\frac{QR}{2}$=$\frac{2t-3}{\sqrt{5}}$，
∴QR=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（2t-3），
∴当1.5＜t＜3时，重叠部分是△PKD，
S=S△PDQ-S△QDK=3t-t2-$\frac{1}{2}$•（2$\sqrt{5}$-$\frac{2}{3}$$\sqrt{5}$t）•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（2t-3）=$\frac{1}{3}$t2-3t+6．
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{3t-{t}^{2}}&{（0＜t≤1.5）}\\{\frac{1}{3}{t}^{2}-3t+6}&{（1.5＜t＜3）}\end{array}\right.$．
②由①可知，当0＜t≤1.5时，S随t的增大而增大．
如图4中，

当t≥3时，重叠部分是△PDK，S=$\frac{1}{2}$•DK•PH=$\frac{1}{2}$•[$\frac{\sqrt{5}}{3}$（2t-3）-$\sqrt{5}$]•$\frac{\sqrt{5}}{5}$（6-t）=-$\frac{1}{3}$t2+3t-6，
∵-$\frac{1}{3}$＜0，开口向下，对称轴t=$\frac{9}{2}$，
∴3≤t＜$\frac{9}{2}$时，S随t的增大而增大．
综上所述，当当0＜t≤1.5或3≤t＜$\frac{9}{2}$时，S随t的增大而增大．

点评 本题考查三角形综合题、正方形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理、二次函数的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决增减性问题，属于中考压轴题．

练习册系列答案
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