Question

2．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是AC边上一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D，点F在弧DEB上．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）若∠A=∠F，⊙O的半径为2，求∠A的度数和阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据圆周角定理和三角形的外角的性质计算，得到∠COD+∠C=90°，根据切线的判定定理证明；
（2）根据圆周角定理得到∠BOD=2∠F，根据题意求出∠A，根据扇形面积公式计算，求出阴影部分的面积．

解答 解：（1）连接OD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠1，
由圆周角定理得，∠COD=∠1+∠ODB=2∠1，
∵∠C+∠A=90°，
∴∠COD+∠C=90°，
即OD⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）由圆周角定理得，∠BOD=2∠F，
∵∠A=∠F，
∴∠BOD=2∠A，
∴∠A=60°，∠BOD=120°，
阴影部分的面积=$\frac{120π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}×$2×2×sin60°×2×cos60°=$\frac{4π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查的是切线的判定、扇形面积的计算，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线、扇形的面积公式是解题的关键．