Question

18．新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图所示，△ABC中，AF、BE是中线，且AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形称为“中垂三角形”，如果∠ABE=30°，AB=4，那么此时AC的长为2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根据三角形中位线的性质，得到EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB=2，再由勾股定理得到结果．

解答 解：如图，连接EF，
∵AF、BE是中线，
∴EF是△CAB的中位线，
可得：EF=$\frac{1}{2}$×4=2，
∵EF∥AB，
∴△PEF～△ABP，
∴$\frac{PF}{AP}$=$\frac{PE}{PB}$=$\frac{EF}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
在Rt△ABP中，
AB=4，∠ABP=30°，
∴AP=2，PB=2$\sqrt{3}$，
∴PF=1，PE=$\sqrt{3}$，
在Rt△APE中，
∴AE=$\sqrt{7}$，
∴AC=2$\sqrt{7}$，
故答案为：$2\sqrt{7}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．