Question

3．已知实数x，y满足（x-$\sqrt{{x}^{2}+4}$）（y-$\sqrt{{y}^{2}+2}$）=16，则x$\sqrt{{y}^{2}+2}$+y$\sqrt{{x}^{2}+4}$的值为-$\frac{31}{4}$．

Answer 1

分析 原式两边都乘以（x+$\sqrt{{x}^{2}+4}$）（y+$\sqrt{{y}^{2}+2}$）可得（x+$\sqrt{{x}^{2}+4}$）（y+$\sqrt{{y}^{2}+2}$）=$\frac{1}{2}$，展开后可得xy+x$\sqrt{{y}^{2}+2}$+y$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（{x}^{2}+4）（{y}^{2}+2）}$=$\frac{1}{2}$   ①，再将原式展开后可得xy-x$\sqrt{{y}^{2}+2}$-y$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（{x}^{2}+4）（{y}^{2}+2）}$=16  ②，①-②即可得答案．

解答 解：∵（x-$\sqrt{{x}^{2}+4}$）（y-$\sqrt{{y}^{2}+2}$）=16，
∴（x-$\sqrt{{x}^{2}+4}$）（y-$\sqrt{{y}^{2}+2}$）（x+$\sqrt{{x}^{2}+4}$）（y+$\sqrt{{y}^{2}+2}$）=16（x+$\sqrt{{x}^{2}+4}$）（y+$\sqrt{{y}^{2}+2}$），
即16（x+$\sqrt{{x}^{2}+4}$）（y+$\sqrt{{y}^{2}+2}$）=8，
∴（x+$\sqrt{{x}^{2}+4}$）（y+$\sqrt{{y}^{2}+2}$）=$\frac{1}{2}$，
xy+x$\sqrt{{y}^{2}+2}$+y$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（{x}^{2}+4）（{y}^{2}+2）}$=$\frac{1}{2}$   ①，
∵（x-$\sqrt{{x}^{2}+4}$）（y-$\sqrt{{y}^{2}+2}$）=16，
即xy-x$\sqrt{{y}^{2}+2}$-y$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{（{x}^{2}+4）（{y}^{2}+2）}$=16  ②，
∴①-②，得：2x$\sqrt{{y}^{2}+2}$+2y$\sqrt{{x}^{2}+4}$=-$\frac{31}{2}$，
∴x$\sqrt{{y}^{2}+2}$+y$\sqrt{{x}^{2}+4}$=-$\frac{31}{4}$，
故答案为：-$\frac{31}{4}$．

点评 本题考查了二次根式的化简求值，将原式变形得出含有待求代数式的式子是解题的关键．