Question

6．如图，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，且∠APD=∠OAD
（1）判断PA与⊙O的位置关系并证明；
（2）证明：∠BDP=∠ODC；
（3）证明：AD²=BD•CD．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形的两锐角互余以及等量代换证得∠OAP=90°，利用切线的判定定理证得；
（2）连接OA、OC，如图，根据切线的性质得∠OAP=90°，由AD⊥OP得到∠ADP=∠ADO=90°，再根据相似三角形的判定易得Rt△PAD∽Rt△POA，则PA²=PD•PO，同理可得Rt△OAD∽Rt△OPA，则OA²=OD•OP；Rt△PAD∽Rt△AOD，则AD²=PD•DO，由于OA²=OD•OP，OC=OA，得到OC²=OD•OP，加上∠POC=∠COD，则根据相似三角形的判定方法得到△POC∽△COD；然后根据切割线定理得PA²=PB•PC，则PB•PC=PD•PO，加上∠BPD=∠OPC，于是可判断△PBD∽△POC，
所以△PBD∽△COD，利用相似比得到∠BDP=∠ODC，
（3）利用△PBD∽△COD证得PD•OD=BD•CD，由此得到AD²=BD•CD．

解答 证明：（1）∵AD⊥OP，
∴△APD是直角三角形，
∴∠APD+∠PAD=90°，
又∵∠APD=∠OAD，
∴∠PAD+∠OAD=90°，即∠OAP=90°，
∴PA⊥OA，
∴PA是切线；
（2）解：连接OA、OC，如图，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∵AD⊥OP，
∴∠ADP=∠ADO=90°，
∵∠APO=∠DPA，
∴Rt△PAD∽Rt△POA，
∴PA：PO=PD：PA，即PA²=PD•PO，
同理可得Rt△OAD∽Rt△OPA，则OA²=OD•OP，
Rt△PAD∽Rt△AOD，则AD²=PD•DO，
∵OA²=OD•OP，OC=OA，
∴OC²=OD•OP，即OC：OD=OP：OC，
而∠POC=∠COD，
∴△POC∽△COD；
∵PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，
∴PA²=PB•PC，
∴PB•PC=PD•PO，即PB：PO=PD：PC，
而∠BPD=∠OPC，
∴△PBD∽△POC，
∴△PBD∽△COD，
∴∠BDP=∠ODC；
（3）解：∵△PBD∽△COD，
∴PD：CD=BD：OD，即PD•OD=BD•CD，
∴AD²=BD•CD．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了相似三角形的判定与性质、切割线定理．