Question

1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M分别为AB和PE的中点，AD∥PC，且AD=PC
（1）如图①，若CA=CB，请写出与线段DE相关的三个结论
（2）如图②，在Rt△ABC中，若∠CAB=30°，猜想DE与AC之间的数量关系和所在直线的位置关系，并说明理由
（3）如图③，改变点P的位置，且$\frac{BC}{AC}$=$\frac{5}{9}$，请你根据已知条件在图③中将图形补充完整，并直接写出DE与AC之间的数量关系和所在直线的位置关系，不必说明理由．

Answer 1

分析 （1）先连接AE，BP，BE，CD，构造平行四边形AEBP，平行四边形ADCP，进而得出四边形BCDE是平行四边形，即可得到DE∥BC，DE=BC，再根据CA=CB，∠ACB=90°，即可得出DE⊥AC，DE=AC；
（2）先连接AE，BP，BE，CD，构造平行四边形AEBP，平行四边形ADCP，进而得出四边形BCDE是平行四边形，即可得到DE∥BC，DE=BC，再根据Rt△ABC中，∠CAB=30°，∠ACB=90°，即可得到AC=$\sqrt{3}$BC，AC⊥BC，进而得出AC=$\sqrt{3}$DE，AC⊥DE；
（3）先连接AE，BP，BE，CD，构造平行四边形AEBP，平行四边形ADCP，进而得出四边形BCDE是平行四边形，即可得到DE∥BC，DE=BC，再根据Rt△ABC中，$\frac{BC}{AC}$=$\frac{5}{9}$，∠ACB=90°，即可得出BC=$\frac{5}{9}$AC，BC⊥AC，进而得到DE=$\frac{5}{9}$AC，DE⊥AC．

解答 解：（1）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC，DE=AC．（答案不唯一）
理由：如图，连接AE，BP，BE，CD，
∵M分别为AB和PE的中点，
∴四边形AEBP是平行四边形，
∴AP∥BE，AP=BE，
又∵AD∥PC，AD=PC，
∴四边形ADCP是平行四边形，
∴CD=AP，CD∥AP，
∴CD=BE，CD∥BE，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC，DE=BC，
又∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴DE⊥AC，DE=AC；

（2）$\sqrt{3}$DE=AC，DE⊥AC．
理由：如图，连接AE，BP，BE，CD，
∵M分别为AB和PE的中点，
∴四边形AEBP是平行四边形，
∴AP∥BE，AP=BE，
又∵AD∥PC，AD=PC，
∴四边形ADCP是平行四边形，
∴CD=AP，CD∥AP，
∴CD=BE，CD∥BE，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC，DE=BC，
又∵在Rt△ABC中，∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴AC=$\sqrt{3}$BC，AC⊥BC，
∴AC=$\sqrt{3}$DE，AC⊥DE；

（3）DE=$\frac{5}{9}$AC，DE⊥AC．
理由：如图，连接AE，BP，BE，CD，
∵M分别为AB和PE的中点，
∴四边形AEBP是平行四边形，
∴AP∥BE，AP=BE，
又∵AD∥PC，AD=PC，
∴四边形ADCP是平行四边形，
∴CD=AP，CD∥AP，
∴CD=BE，CD∥BE，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC，DE=BC，
又∵在Rt△ABC中，$\frac{BC}{AC}$=$\frac{5}{9}$，∠ACB=90°，
∴BC=$\frac{5}{9}$AC，BC⊥AC，
∴DE=$\frac{5}{9}$AC，DE⊥AC．

点评 本题属于相似形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形，依据平行四边形的对边平行且相等进行推导．解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．