Question

20．二次函数y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：下列结论：①abc＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程ax²+（b-1）x+c=0的一个根；④当-1＜x＜3时，ax²+（b-1）x+c＞0；⑤4m（am+b）-6b＜9a．其中正确说法的序号是（　　）

X	-1	0	1	2
y	-1	3	5	5

• A． ①③④
• B． ①③⑤
• C． ②④⑤
• D． ①②④⑤

Answer 1

分析 待定系数法求得二次函数的解析式，即可得a、b、c的值，可判断①；根据二次函数的顶点式，结合二次函数的性质可判断②；将a、b、c的值代入方程，解方程求得方程的根，可判断③；将a、b、c的值代入不等式，解不等式可判断④；根据二次函数的最值可判断⑤．

解答 解：将x=-1、y=-1，x=0、y=3，x=1、y=5代入y=ax²+bx+c，
得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=-1}\\{c=3}\\{a+b+c=5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴y=-x²+3x+3=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{21}{4}$，
∴abc=-9＜0，故①正确；

当x＞$\frac{3}{2}$时，y随x的增大而减小，故②错误；

方程ax²+（b-1）x+c=0可整理为方程-x²+2x+3=0，
解得：x=-1或x=3，
∴3是方程ax²+（b-1）x+c=0的一个根，故③正确；

不等式ax²+（b-1）x+c＞0可变形为-x²+2x+3＞0，
解得：-1＜x＜3，故④正确；

由y=-x²+3x+3=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{21}{4}$可知当x=$\frac{3}{2}$时，y取得最大值，
即当x=m时，am²+bm+c≤$\frac{9}{4}$a+$\frac{3}{2}$b+c，
变形可得4m（am+b）-6b≤9a，故⑤错误；
综上，正确的结论有①③④，
故选：A．

点评 本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质是解题的关键．