Question

3．如图，一次函数y=-x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点M在x轴上，要使△ABM是以AB为腰的等腰三角形，那么点M的坐标是（$\sqrt{2}$+1，0）、（-$\sqrt{2}$+1，0）或（-1，0）．

Answer 1

分析 分别令一次函数y=-x+1中x=0、y=0，求出点A、B的坐标，设出点M的坐标，根据两点间的距离公式表示出AB、AM和BM的长度，分AB=BM与AB=AM两种情况来考虑，由此可得出关于m的方程，解关于m的方程即可得出结论．

解答 解：令一次函数y=-x+1中y=0，则-x+1=0，
解得：x=1，
∴点A的坐标为（1，0）；
令一次函数y=-x+1中x=0，则y=1，
∴点B的坐标为（0，1）．
设点M的坐标为（m，0），则AB=$\sqrt{2}$，AM=|m-1|，BM=$\sqrt{（0-m）^{2}+（1-0）^{2}}$，
△ABM是以AB为腰的等腰三角形分两种情况：
①AB=AM，即$\sqrt{2}$=|m-1|，
解得：m=$\sqrt{2}$+1，或m=-$\sqrt{2}$+1，
此时点M的坐标为（$\sqrt{2}$+1，0）或（-$\sqrt{2}$+1，0）；
②AB=BM，即$\sqrt{2}$=$\sqrt{（0-m）^{2}+（1-0）^{2}}$，
解得：m=-1，或m=1（舍去），
此时点M的坐标为（-1，0）．
综上可知点M的坐标为（$\sqrt{2}$+1，0）、（-$\sqrt{2}$+1，0）或（-1，0）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，解题的关键是分AB=BM与AB=AM两种情况来考虑．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，有两点间的距离公式表示出三角形三边长度，再根据等腰三角形的性质找出关于m的方程是关键．