Question

11．如图，在△ABC中，AB=6，BC=3，CA=7，I为△ABC的内心，连接CI并延长交AB于点D．记△CAI的面积为m，△DAI的面积为n，则$\frac{m}{n}$=（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． $\frac{7}{4}$

Answer 1

分析 由I为△ABC的内心知，AI是△ACD的角平分线，BI是△BCD的角平分线，根据角平分线定理得出$\frac{IC}{ID}$=$\frac{AC}{AD}$=$\frac{BC}{BD}$，利用三角形的面积公式可知同高的两个三角形面积之比等于底边之比，得到$\frac{m}{n}$=$\frac{IC}{ID}$，再由等比定理得出$\frac{m}{n}$=$\frac{IC}{ID}$=$\frac{AC+BC}{AD+BD}$=$\frac{7+3}{6}$=$\frac{5}{3}$．

解答 解：∵I为△ABC的内心，
∴AI是△ACD的角平分线，BI是△BCD的角平分线，
∴$\frac{IC}{ID}$=$\frac{AC}{AD}$=$\frac{BC}{BD}$，
∵$\frac{m}{n}$=$\frac{IC}{ID}$，
∴$\frac{m}{n}$=$\frac{IC}{ID}$=$\frac{AC+BC}{AD+BD}$=$\frac{7+3}{6}$=$\frac{5}{3}$．
故选C．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了角平分线定理，三角形的面积，等比定理．