Question

如图所示，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE于C，连结OD，且∠AOD＝∠APC． (1) 求证：AP是⊙O的切线 (2) 若OC∶CB＝1∶2，AB＝9，求⊙O的半径及sinA的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	如图，连结OP． 　　因为弦PD⊥直径BE于C，所以∠D＋∠AOD＝．因为OP＝OD，所以∠D＝∠OPC，所以∠OPC＋∠AOD＝．因为∠APC＝∠AOD，所以∠OPC＋∠APC＝，所以AP⊥OP．又因为OP为⊙O半径，所以AP是⊙O的切线．
(2)	因为OC∶CB＝l∶2，所以设OC＝x，则BC＝2x，所以OB＝3x＝OP， 　　在Rt△ACP与Rt△APO中，因为∠ACP＝∠APO＝，∠A＝∠A， 　　所以△ACP∽△APO，所以＝，所以AP2＝AC·AO＝(9＋2x)(9＋3x)． 　　因为∠APO＝，所以AP2＋OP2＝AO2，即(9＋2x)(9＋3x)＋9x2＝(9＋3x)2，整理得2x2－3x＝0．因为x＞0，所以x＝，所以⊙O的半径OP＝3x＝，所以AO＝9＋3x＝9＋＝， 　　所以sinA＝＝＝