Question

11．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC，BD于点E，F，CE=2，连接CF，作FM⊥CD于M，则FM：CM=3$\sqrt{3}$：7．

Answer 1

分析 如图，作BN⊥CD于N．首先证明△ABD，△BCD都是等边三角形，由EB∥AD，得$\frac{EB}{AD}$=$\frac{FB}{DF}$=$\frac{2}{3}$，求出DF、DM、FM，CM即可解决问题．

解答 解：如图，作BN⊥CD于N．

∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴AB=BC=CD=AD=6，
△ABD，△BCD都是等边三角形，
∴∠BDC=60°，DB=AD=6，
∵FM⊥CD，
∴∠FMD=90°，
∴∠DFM=30°，
∴DF=2DM．
∵EC=2，
∴EB=6，
∵EB∥AD，
∴$\frac{EB}{AD}$=$\frac{FB}{DF}$=$\frac{2}{3}$，
∴DF=$\frac{3}{5}$×6=$\frac{18}{5}$，
∴DM=$\frac{9}{5}$，FM=$\sqrt{3}$DM=$\frac{9\sqrt{3}}{5}$，
∵DN=NC=3，
∴CM=CN+MN=3+（3-$\frac{9}{5}$）=$\frac{21}{5}$，
∴$\frac{FM}{CM}$=$\frac{\frac{9\sqrt{3}}{5}}{\frac{21}{5}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$，
故答案为3$\sqrt{3}$：7．

点评 本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．