Question

如图，点E是矩形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，G是AF的中点，再连接DG、DE，且DE=DG．
（1）求证：∠DEA=2∠AEB；
（2）若BC=2AB，求∠AED的度数．

Answer 1

考点：矩形的性质,等腰三角形的性质,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：（1）根据直角三角形斜边中线的性质可求出AG=DG，所以∠DAG=∠ADG，再利用矩形的性质和三角形的外角和定理即可证明：∠DEA=2∠AEB；
（2）过点作GH⊥DC于H，则∠DCE=∠GFH=3∠AEB=3∠DAE，所以∠DAE+∠GFH=90°，所以4∠DAE=90°，∠DAE=22.5°，进而得到∠DEA=2∠DAE=45°．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADF=90°，AD∥BC，
∵RT△ADF中，G是AF中点，
∴GA=GD=GF
∴∠DGF=2∠DAE
∵AD∥BE，
∴∠AEB=∠DAE，
∵DG=DE，
∴∠DEA=∠DGF
∴∠DEA=2∠AEB；

（2）过点作GH⊥DC于H，
∵AD∥GH，G是AF中点，
则GH=

1

2

AD=AB=DC，
又∵DE=DG=GF，
∴易证：Rt△GHF≌Rt△DCE，
∵∠DEA=2∠AEB，
∴∠DCE=∠GFH=3∠AEB=3∠DAE，
∵∠DAE+∠GFH=90°，
∴4∠DAE=90°，
∠DAE=22.5°，
∴∠DEA=2∠DAE=45°．

点评：本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，题目的综合性较强，难度不大．