Question

7．已知：如图，线段AB=8，以A为圆心，5为半径作圆A，点C在⊙A上，过点C作CD∥AB交⊙A于点D（点D在C右侧），联结BC、AD．
（1）若CD=6，求四边形ABC的面积；
（2）设CD=x，BC=y，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（3）设BC的中点为M，AD的中点为N，线段MN交⊙A于点E，联结CE，当CD取何值时，CE∥AD．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥CD于H，如图，根据垂径定理得CH=DH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×6=3，再利用勾股定理计算出AH=4，然后根据梯形的面积公式求解；
（2）作CP⊥AB于P，如图1，根据垂径定理得CH=DH=$\frac{1}{2}$x，易得AP=CH=$\frac{1}{2}$x，则BP=AB-AP=8-$\frac{1}{2}$x，在Rt△PAC中利用勾股定理得到CP²=25-$\frac{1}{4}$x²，在Rt△BPC中根据勾股定理得到y²=（8-$\frac{1}{2}$x）²+25-$\frac{1}{4}$x²=89-8x，然后利用算术平方根定义即可得到y与x的关系；
（3）设AH交MN于点F，连结AE，如图2，易得MN为梯形ABCD的中位线，则MN∥CD，当CE∥AD，则可判断四边形CEND为平行四边形，得到DC=NE=x，再证明FN为△AHD的中位线得到FN=$\frac{1}{2}$DH=$\frac{1}{4}$x，所以EF=$\frac{3}{4}$x，根据勾股定理得到AF²=AE²-EF²，AF²=AN²-NF²，则AE²-EF²=AN²-NF²，即5²-（$\frac{3}{4}$x）²=（$\frac{5}{2}$）²-（$\frac{1}{4}$x）²，然后解方程即可．

解答 解：（1）作AH⊥CD于H，如图，则CH=DH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×6=3，
在Rt△AHD中，∵AD=5，DH=3，
∴AH=$\sqrt{A{D}^{2}-D{H}^{2}}$=4，
∴四边形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$（CD+AB）•AH=$\frac{1}{2}$×（6+8）×4=28；
（2）作CP⊥AB于P，如图1，
∵AH⊥CD，CD=x
∴CH=DH=$\frac{1}{2}$x，
∴AP=CH=$\frac{1}{2}$x，
∴BP=AB-AP=8-$\frac{1}{2}$x，
在Rt△PAC中，∵AC²=AP²+CP²，
∴CP²=25-$\frac{1}{4}$x²，
在Rt△BPC中，∵BC²=BP²+CP²，
∴y²=（8-$\frac{1}{2}$x）²+25-$\frac{1}{4}$x²=89-8x，
∴y=$\sqrt{89-8x}$（0＜x＜10）；
（3）设AH交MN于点F，连结AE，如图2，
∵CD∥AB，CD≠AB，
∴四边形ABCD为梯形，
∵BC的中点为M，AD的中点为N，
∴MN为梯形ABCD的中位线，
∴MN∥CD，
∵CE∥AD，
∴四边形CEND为平行四边形，
∴DC=NE=x，
∵FN∥CD，N点为AD的中点，
∴FN为△AHD的中位线，
∴FN=$\frac{1}{2}$DH=$\frac{1}{4}$x，
∴EF=x-$\frac{1}{4}$x=$\frac{3}{4}$x，
在Rt△AEF中，AF²=AE²-EF²，
在Rt△AFN中，AF²=AN²-NF²，
∴AE²-EF²=AN²-NF²，即5²-（$\frac{3}{4}$x）²=（$\frac{5}{2}$）²-（$\frac{1}{4}$x）²，解得x=$\frac{5\sqrt{6}}{2}$．
即当CD为$\frac{5\sqrt{6}}{2}$时，CE∥AD．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、梯形的性质和平行四边形的判定与性质；会运用三角形中位线和梯形中位线性质得到有关线段的数量关系和位置关系；会运用勾股定理进行几何计算．