Question

4．设N=8888⁸⁸⁸⁸写成十进制数时，它的各位数字之和是A，而A的各位数字之和是B，B的各位数字之和是C．则C是（　　）

• A． 11
• B． 7
• C． 9
• D． 4

Answer 1

分析 根据一个十进制数被9除余几，它的各位数字之和被9除也余几；又因为一个数被9除余1，它的任意正整数次幂被9除也余1，得出N，A，B，C被9除的余数相同，再分析N除9的余数，最后根据N的位数得出A的范围，再根据A的范围确定出B的范围，进而得出C的范围，最后利用余数即可得出结论．

解答 解：由于一个十进制数被9除余几，它的各位数字之和被9除也余几；
又因为一个数被9除余1，它的任意正整数次幂被9除也余1，这样就有N，A，B，C被9除的余数相同，
N=8888⁸⁸⁸⁸=8⁸⁸⁸⁸•1111⁸⁸⁸⁸，
而8⁸⁸⁸⁸=64⁴⁴⁴⁴，64除以9余1，
∴64⁴⁴⁴⁴除以9也余1，
即8⁸⁸⁸⁸除以9也余1，
∵1111⁸⁸⁸⁸=（1107×9+4）⁸⁸⁸⁸=9k₁+4⁸⁸⁸⁸，而4⁸⁸⁸⁸=4⁸⁸⁸⁶×16=64²⁹⁶²×16，
因此，64²⁹⁶²除以9余1，而16除以9余7，即：4⁸⁸⁸⁸除以9余7，
∴1111⁸⁸⁸⁸除以9余7，从而N除以9余7，
∴N，A，B，C除以9均余7，
∵N的位数小于4×8888=35552，
因此，N的各位数字之和A＜9×35552=319968，
而小于319968的多位数的各位数字之和最大是2+5×9=47，
即B≤47，而小于等于47的数的各位数字之和最大是3+9=12，
从而C≤12，又C除以9余7，
故C=7，
故选B．

点评 此题是带余除法，解本题的根据是十进制数被9除余几，它的各位数字之和被9除也余几和一个数被9除余1，它的任意正整数次幂被9除也余1；是一道难度比较大的竞赛题．