Question

如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，E、F分别是DC、DA边上，且DE=AF，已知DC=3，AD=4，AB=6，设DE=x，四边形EFBC的面积是S．
（1）求S关于x的函数表达式和x的取值范围；
（2）如果S_{四边形EFBC}=10，求DE的长度．

Answer 1

考点：直角梯形,一元二次方程的应用

专题：

分析：（1）根据四边形EFBC的面积S=S_梯形ABCD-S_△DEF-S_△ABF列式整理即可，再根据CD的长度写出x的取值范围；
（2）根据S_{四边形EFBC}=10列出方程，然后解一元二次方程即可．

解答：解：（1）四边形EFBC的面积S=S_梯形ABCD-S_△DEF-S_△ABF，
=

1

2

×（3+6）×4-

1

2

（4-x）•x-

1

2

×6•x，
=18-2x+

1

2

x²-3x，
=

1

2

x²-5x+18，
∵CD=3，
∴0＜x＜3；

（2）∵S_{四边形EFBC}=10，
∴

1

2

x²-5x+18=10，
整理得，x²-10x+16=0，
解得x₁=2，x₂=8（舍去），
所以DE的长度为2．

点评：本题考查了直角梯形，三角形的面积，解一元二次方程，观察图形表示出四边形EFBC的面积是解题的关键．