Question

19．如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上（点E与点A，B不重合）．过点E作FG⊥DE，FG与边BC相交于点F，与边AD的延长线相交于点G．
（1）请猜想BF，AG，AE的长度之间具有怎样的等量关系，并证明你所得到的结论．
（2）连接DF，如果正方形的边长为2，设AE=x，△DFG的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出此函数自变量的取值范围．
（3）如果正方形的边长为2，FG的长为$\frac{5}{2}$，求点C到直线DE的距离．

Answer 1

分析 （1）要寻找3条线段的数量关系，往往采用作辅助线截长或补短的方法，然后找到其中的关系，本题证明三角形全等是关键；
（2）由（1）可知DE=FG，∴△DGF的底与高可以关键勾股定理用含x的式子表示出来，所以解析式就可以表示出来；
（3）要解决本题，关键题意作出辅助线是关键，利用三角形的面积公式建立两个不同的式子是问题解决．

解答 解：（1）BF+AG=AE．
证明：如图1，过点F作FH⊥DA，垂足为H，
∵在正方形ABCD中，∠DAE=∠B=90°，
∴四边形ABFH是矩形，
∴FH=AB=DA，
∵DE⊥FG，
∴∠G=90°-∠ADE=∠DEA，
又∴∠DAE=∠FHG=90°，
∴△FHG≌△DAE，
∴GH=AE，即HA+AG=AE，
∵BF=HA，
∴BF+AG=AE．
（2）∵△FHG≌△DAE，
∴FG=DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{4+{x}^{2}}$，
∵S_△DGF=$\frac{1}{2}$FG•DE，
∴y=$\frac{4+{x}^{2}}{2}$，
∴解析式为：y=$\frac{4+{x}^{2}}{2}$，函数自变量的取值范围为0＜x＜2；
（3）如图2，连接CE，作CP⊥DE于P，S_△CDE=$\frac{1}{2}$×CD•AD=2，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$×DE•CP=2，
∵DE=FG=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{5}{2}$•CP=2，
∴CP=$\frac{8}{5}$，
∴点C到直线DE的距离为$\frac{8}{5}$．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据已知得出∠G=∠DEA，进而得出△FHG≌△DAE是解决问题的关键．作辅助线是难点．