Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，AD为BC边上的高．
（1）试写出AB，AC，AD与半径r之间的关系并证明；
（2）如果作∠BAC的角平分线交⊙O于M，那么AM是否是∠OAD的角平分线？说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）如图，延长AO，交⊙O于点E，连接EC；证明△ABD∽△AEC，得到AB•AC=2r•AD．
（2）证明∠BAD=∠EAC，进而得到∠BAE=∠CAD，即可解决问题．

解答：解：（1）如图，延长AO，交⊙O于点E，连接CE；
∵AD⊥BC，AE为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ACE，而∠B=∠E，
∴△ABD∽△AEC，
∴AB：AE=AD：AC；设⊙O的半径为r，
∴AB•AC=2r•AD．
（2）∵△ABD∽△AEC，
∴∠BAD=∠EAC，
∴∠BAE=∠CAD，
∴若AM平分∠BAC，则AM一定平分∠OAD．

点评：该题以圆为载体，以圆周角定理及其推论、相似三角形的判定及其性质的考查为核心构造而成的一道综合性几何题；解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．