Question

18．定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做“等对边四边形”．
（1）已知：图①、图②是5×5的正方形网格，线段AB，BC的端点均在格点上，在图①、图②中，按要求以AB，BC为边各画一个等对边四边形ABCD．
要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，且两个四边形不全等．
（2）如图③，在Rt△BCP中，∠C=90°，点A是BP的中点，BP=13，BC=5，点D在边CP上运动，设CD=x，直接写出四边形ABCD为等对边四边形时x的值为$\frac{13}{2}$或6+$\frac{5\sqrt{3}}{2}$或6-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据对等四边形的定义，进行画图即可；
（2）根据对等四边形的定义，分两种情况：①若CD=AB，此时点D在D₁的位置，CD₁=AB=$\frac{13}{2}$；②若AD=BC，此时点D在D₂、D₃的位置，AD₂=AD₃=BC=5；利用勾股定理和矩形的性质，求出相关相关线段的长度，即可解答．

解答 解：（1）如图①②所示，四边形ABCD即为所求；


（2）如图③所示，

当AB=CD时，此时点D位于D₁位置，CD₁=AB=$\frac{1}{2}$BP=$\frac{13}{2}$；
当BC=AD=5时，此时点D位于D₂、D₃位置，
过点A作AE⊥PC，
则AE为△PBC的中位线，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$，CE=$\frac{1}{2}$PC=6，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴CD=6+$\frac{5\sqrt{3}}{2}$或6-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：$\frac{13}{2}$或6+$\frac{5\sqrt{3}}{2}$或6-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

点评 题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是理解并能运用“等对边四边形”这个概念．在（3）中注意分类讨论思想的应用、勾股定理的应用．