Question

4．已知关于x的一元二次方程x²-（2k-1）x+k²=0．
（1）若方程有实数根，求k的取值范围：
（2）若方程的两根为x₁，x₂，且$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k的取值范围；
（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k的值即可．

解答 解：（1）∵方程有实数根，
∴△=[-（2k-1）]²-4k²≥0，
解得k≤$\frac{1}{4}$．

（2）由根与系数关系知：
x₁+x₂=2k-1，x₁x₂=k²，
又∵$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$═$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2k-1}{{k}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
解得：k=-2+$\sqrt{6}$或k=-2-$\sqrt{6}$，
∵k≤$\frac{1}{4}$，
∴k=-2-$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．