Question

抛物线y=ax²+2x+c与其对称轴相交于点A（1，4），与x轴正半轴交于点B．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）在抛物线对称轴上确定一点C，使△ABC是等腰三角形，求出所有点C的坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,等腰三角形的判定

专题：

分析：（1）由抛物线y=ax²+2x+c与其对称轴相交于点A（1，4），可得点A是抛物线的顶点，则可得x=

2

2a

=1，则可求得a的值，继而求得这条抛物线的函数关系式；
（2）首先求得点B的坐标，然后分别从AB=AC，BA=BC，CA=CB去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+2x+c与其对称轴相交于点A（1，4），
∴点A是抛物线的顶点，
∴x=

2

2a

=1，
∴a=-1，
∴这条抛物线的函数关系式为：y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；

（2）∵抛物线与x轴正半轴交于点B，
∴0=-（x-1）²+4，
解得：x=3或x=-1，
∴点B（3，0），
若点A、B与抛物线对称轴上的点C构成等腰三角形，有三种可能：
当AB=AC时，点C（1，4±2

5

）；
当BA=BC时，点C（1，-4）；
当CA=CB时，点C（1，

3

2

）；
综上所述，点C的坐标为：（1，4+2

5

），（1，4-2

5

），（1，-4），（1，

3

2

）．

点评：此题考查了二次函数的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．