Question

15．已知圆锥底面半径为1，母线长为4，地面圆周上有一点A，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线PA中点B，则蚂蚁爬行的最短路程为2$\sqrt{5}$（结果保留根号）

Answer 1

分析 要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果

解答 解：根据题意，将该圆锥展开如下图所示的扇形，
         则，线段AB就是蚂蚁爬行的最短距离．
         因为，圆锥的底面缘的周长=扇形的弧长，
         所以，扇形的弧长l=2πr=2π，
         扇形的半径=母线长，
         由公式：l=$\frac{nπr}{180}$  得，
         圆心角     n=$\frac{180×2π}{4π}$=90°，
             在RT△APM中，
                        AB=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
               所以 蚂蚁爬行的最短路程为2$\sqrt{5}$，
          故答案为：2$\sqrt{5}$，

点评 此题是平面展开图--最短路程问题，考查了圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．