Question

17．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB=AD，E是BD的中点，F是AC的中点．
（1）求证：EF=$\frac{1}{2}$AC；
（2）若点G是边AB的中点，连接EG，线段GE与EF能否相等？说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接AE，根据等腰三角形的性质得到AE⊥BD，根据直角三角形的性质得到EF=$\frac{1}{2}$AC；
（2）根据三角形准确性定理得到EG=$\frac{1}{2}$AD，根据（1）的结论解答即可．

解答 （1）证明：连接AE，
∵AB=AD，E是BD的中点，
∴AE⊥BD，
∵F是AC的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC；
（2）∵点G是边AB的中点，E是BD的中点，
∴EG=$\frac{1}{2}$AD，又AB=AD，
∴EG=$\frac{1}{2}$AB，
∴当AB=AC时，GE=EF．

点评 本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理的应用，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．