Question

16．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a-3b|+（a+b-4）²=0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°
（1）求a、b的值；
（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据|a-3b|+（a+b-4）²=0，可得a-3b=0，且a+b-4=0，进而得出a、b的值；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN之前，②在灯A射线转到AN之后，分别求得t的值即可；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°，∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，可得∠BAC与∠BCD的数量关系．

解答 解：（1）∵a、b满足|a-3b|+（a+b-4）²=0，
∴a-3b=0，且a+b-4=0，
∴a=3，b=1；

（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜60时，
3t=（20+t）×1，
解得t=10；
②当60＜t＜120时，
3t-3×60+（20+t）×1=180°，
解得t=85；
③当120＜t＜180时，
3t-360=t+20，
解得t=190＞180，（不合题意）
综上所述，当t=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；

（3）设A灯转动时间为t秒，
∵∠CAN=180°-3t，
∴∠BAC=45°-（180°-3t）=3t-135°，
又∵PQ∥MN，
∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°-3t=180°-2t，
而∠ACD=90°，
∴∠BCD=90°-∠BCA=90°-（180°-2t）=2t-90°，
∴∠BAC：∠BCD=3：2，
即2∠BAC=3∠BCD．

点评 本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0．