Question

12．如表，从左到右在每个小格子中填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等

1

a

b

c

8

-4

…

（1）可求得c=1，第2016个格子中的数为-4
（2）前m个格子中所填整数之和是否可能为2016？若能，求m的值；若不能，请说明理由
（3）数轴上，点A、点B对应的数分别是a、b，在数轴上是否存在点P，使得|PA|+|PB|=15？求出P点对应的数（说明：|PA|表示P到A点的距离）

Answer 1

分析 （1）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{1+a+b=a+b+c}\\{a+b+c=b+c+8}\\{1+a+b=c+b-4}\end{array}\right.$，解之得出a、b、c的值，从而知表格中每3个数一周期循环，据此可得；
（2）根据每三格一循环，数分别为1、8、-4，和为5，结合2016÷5=403…1知当m=403×3+1=1210时，整数之和为2016；
（3）设点P对应的数为x，分三种情况讨论，根据两点之间的距离公式列方程求解可得．

解答 解：（1）根据题意可得$\left\{\begin{array}{l}{1+a+b=a+b+c}\\{a+b+c=b+c+8}\\{1+a+b=c+b-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=8}\\{b=-4}\\{c=1}\end{array}\right.$，
则表格中每3个数一周期循环，
∵2016÷3=672，
∴第2016个格子中的数与第3个格子中的数相同为-4，
故答案为：1，-4；

（2）由（1）每三格一循环，数分别为1、8、-4，和为5
∵2016÷5=403…1
∴当m=403×3+1=1210时，整数之和为2016；

（3）设点P对应的数为x，
当点P位于点A右侧时，有x-8+x-（-4）=15，解得：x=9.5；
当点P为与点B左侧时，由8-x+（-4）-x=15，解得：x=-5.5；
当点P为与A、B之间时，|PA|+|PB|=8-x+x-（-4）=12≠15，舍去；
故点P对应的数为-5.5或9.5．

点评 本题主要考查数字的变化规律、解三元一次方程组、解一元一次方程及两点的距离公式，根据题意得出每三格一循环，数分别为1、8、-4，和为5且两点间的距离公式是解题的关键．