Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点E，且l∥BC．

（1）求证：AE平分∠BAC；

（2）作∠ABC的平分线BF交AE于点F，求证：BE＝EF．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）如图，连接OE，利用垂径定理、圆周角、弧、弦的关系证得结论；

（2）欲证明BE=EF，只需推知∠EBF=∠EFB即可．

证明：（1）连接OE．

∵直线l与⊙O相切于E，

∴OE⊥l．

∵l∥BC，

∴OE⊥BC，

∴，

∴∠BAE＝∠CAE．

∴AE平分∠BAC；

（2）∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠CBF．

又∵，

∴∠BAE＝∠CBE，

∴∠CBE+∠CBF＝∠BAE+∠ABF．

又∵∠EFB＝∠BAE+∠ABF，

∴∠EBF＝∠EFB，

∴BE＝EF．