Question

【题目】已知一个三角形纸片的两边长是5和6，第三边的长是方程x2﹣6x+5=0的一个根，若用此三角形纸片剪出一个圆，则剪出的圆的半径最大是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】先解方程得到x1=1，x2=5，再根据三角形三边的关系得到三角形第三边为5，如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为r，作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得到BD=CD=3，AD平分∠BAD，根据内心的定义得到点O在AD上，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，则OD=OE=OF=r，在Rt△ABD中，根据勾股定理得AD=4，然后利用面积法得到×4×6=×5r+×6r+×5r，解得r=，由于三角形的内切圆为三角形内最大的圆，所以此三角形纸片剪出的圆的半径最大值为．

x2﹣6x+5=0，

（x﹣1）（x﹣5）=0，

解得x1=1，x2=5，

∵三角形纸片的两边长是5和6，

∴三角形第三边为5，

如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为r，

作AD⊥BC于D，

则BD=CD=3，AD平分∠BAD，

∴点O在AD上，

作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，则OD=OE=OF=r，

在Rt△ABD中，AD==4，

∵S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC，

∴×4×6=×5r+×6r+×5r，解得r=，

∴此三角形纸片剪出的圆的半径最大值为，

故答案为：．