Question

【题目】设抛物线与x轴的交点分别为A、B（点A在点B的左侧），顶点为C．若a、b、c满足，则称该抛物线为“正定抛物线”；若a、b、c满足，则称该抛物线为“负定抛物线”．特别地，若某抛物线既是“正定抛物线”又是“负定抛物线”，则称该抛物线为“对称抛物线”．

（1）“正定抛物线”必经过x轴上的定点___________；“负定抛物线”必经过x轴上的定点___________．

（2）若抛物线是“对称抛物线”，且△ABC是等边三角形，求此抛物线对应的函数表达式．

（3）若抛物线是“正定抛物线”，设此抛物线交y轴于点D，△BCD的面积为S，求S与b之间的函数关系式．

（4）设“正定抛物线”(b>0)与x轴的交点分别为、（在的左侧），顶点为M；“负定抛物线”(b>0)与x轴的交点分别为、（在的左侧），顶点为N．在两条抛物线所对应的函数表达式中，当同时满足y随x的增大而增大时的所有x的值在x轴上所对应的点恰好是线段 （包括端点）时，直接写出此时以M、N、、为顶点的四边形的面积．

Answer 1

【答案】（1）（1，0），（-1，0）；（2）；（3）当时，；当时，；当时，；（4）8．

【解析】（1）“正定抛物线”a、b、c满足，即当x=1时，y=a+b+c=0,过点（1,0）；“负定抛物线”a、b、c满足，即当x=-1时，y=a-b+c=0,过点（-1,0）；

（2）根据“对称抛物线”的定义，可知抛物线经过（1,0）、（-1,0），根据△ABC是等边三角形，得出c=或c=-，从而可求出抛物线对应的解析式；

（3）抛物线是“正定抛物线”， 抛物线经过（1,0），代入得1+b+c=0，即c=-b-1，表示出C（，），D（0，-b-1），然后分三种情况写出S即可；

（4）根据满足y随x的增大而增大时的所有x的值在x轴上所对应的点恰好是线段 （包括端点）可知，“正定抛物线”(b>0)的对称轴是x=-1，“负定抛物线”(b>0) 的对称轴是x=1，结合“正定抛物线”与“负定抛物线”的定义求解即可.

（1）“正定抛物线”a、b、c满足，即当x=1时，y=a+b+c=0,过点（1,0）；“负定抛物线”a、b、c满足，即当x=-1时，y=a-b+c=0,过点（-1,0）；

（2）∵抛物线是“对称抛物线”，

∴抛物线经过点（1，0）、（-1，0）．

∴ 解得

∵△ABC是等边三角形，

∴．

∴或．

当时，．

此抛物线对应的函数表达式为．

当时，．

此抛物线对应的函数表达式为．

（3）∵抛物线是“正定抛物线”，

∴．

∴．

∴．

∵点C为抛物线的顶点，点D为抛物线和y轴的交点，

∴，．

当时．

．

当时．

．

当时．/p>

（4）由题意得，“正定抛物线”(b>0)的对称轴是x=-1，“负定抛物线”(b>0) 的对称轴是x=1，

∵，

∴b=2.

∵是“正定抛物线”，

∴1+b+m=0,

∴m=-b-1=-3,

∴M的横坐标是，

∴A2M=4.

同理可求B1N=4，

∴A2M=B1N，

∴四边形A2MB1N是平行四边形，

∴S四边形A2MB1N=2×4=8．